連立漸化式、数列の和の問題です

連立漸化式、数列の和の問題です

出典：2019年大分大教育学部、経済学部、理工学部前期

解答です
(1)

2a[n+1]=5a[n]+b[n]+2^(n+1)+4      ・・・・①

2b[n+1]=a[n]+5b[n]-2^(n+1)+4       ・・・・②

①+②より

2(a[n]+b[n+1])=6(a[n]+b[n])+8 より

(a[n]+b[n+1])=3(a[n]+b[n])+4

である。したがって誘導に従うと

c[n+1]=3c[n]+4

である。c[1]=a[1]+b[1]=4である、よって

c[n+1]+2=3(c[n]+2) より

数列{c[n]+2}は初項6、公比3の等比数列より

c[n]+2=6*3^(n-1) より

c[n]=2*3^(n)-2

である。

(2)

①-②より

2(a[n+1]-b[n+1])=4(a[n]-b[n])+2*2^(n+1)   より

(a[n+1]-b[n+1])=2(a[n]-b[n])+2^(n+1)

である。誘導に従うと

d[n+1]=2d[n]+2^(n+1)

である。d[1]=a[1]-b[1]=2である。

両辺2^(n+1)で割って
(d[n+1]/2^(n+1))=(d[n]/2^(n))+1

である。e[n]=(d[n]/2^(n))とおくと

e[n+1]=e[n]+1 より

e[n+1]-e[n]=1 である。

e[1]=(d[1]/2)=1より、数列{e[n]}は初項1、公差1の等差数列より

e[n]=n

である。したがって、d[n]=n*2^(n)である。

(3)

（１）と(２)より

a[n]+b[n]=2*3^(n)-2      ・・・③

a[n]-b[n]=n*2^(n)       ・・・④

である。①+②より

2a[n]=2*3^(n)-2+n*2^(n)   より

a[n]=3^(n)-1+n*2^(n-1)

である。

(４)

(３)の結果より

S[n]=Σ(k=1)(n) k*2^(k-1)+3^(k)-1

である。T[n]=Σ(k=1)(n) k*2^(k-1)とおく

T[n]=1*1+2*2+3*2^2+・・・・・・+n*2^(n-1)

2T[n]=       1*2+2*2^2+・・・・・・+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n

より

-T[n]=1*2^0+1*2+1*2^2+・・・・・+1*2^(n-1)-n*2^n   より

-T[n]=1{2^n-1)-n*2^n  より

T[n]=n*2^n-(2^n-1) より

T[n]=n*2^n-2^(n)+1

である。したがって

S[n]=n*2^n-2^(n)+1+{3(3^(n)-1)/(3-1)}-n より

S[n]=n*2^n-2^(n)+1+{(3^(n+1))/2}-(3/2)-n  より

S[n]=(n-1)*2^n+{3^(n+1)/2}-(1/2)-n

である。

(1)は誘導に従って数列{c[n]}を求めます。

(2)は誘導に従ってd[n+1]とd[n]の関係式を作り、2^(n+1)で割ります。

(3)は(1)と(2)の結果を使って数列{a[n]}を求めます。

(4)は(3)の結果から(等差数列)*(等比数列)の和より、かけてずらして引き、等比数列の和の公式と1をn回足した和です。