定積分の値、積分と微分の関係の問題です

定積分の値、積分と微分の関係の問題です。

出典：2019年龍谷大学理工学部

解答です

(1)

g(x)=∫[x,x+1] f(x) dx　・・・①

g(7)=∫[7,8] f(x) dx より、表から

g(7)=∫[7,8] f(x) dx=23

である。
(2)

∫[5,3] {3f(x)+2} dx より

-3∫[3,4] f(x) dx-3∫[4,5] f(x) dx -2∫[3,5] dx より

表と積分から

-3(g(3)+g(49)-2[x][3,5] より

-3(11+15)-2(5-3)=-78-4=-82

である。

(3)

①をxで微分すると

g'(x)=f(x+1)-f(x) より

g'(5)=f(6)-f(5) より表から

g'(5)=19-16=3

である。
(4)

∫[0,3] 3{f(x)}^2*f'(x) dx=3∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx

である。部分積分を使って

3∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx=3[{f(x)}^2*{f(x)}][0,3]-3∫[0.3] 2f(x)*f'(x)*f(x) dx より

3∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx=3[{f(x)}^2*{f(x)}][0,3]-6∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx より

9∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx=3[{f(x)}^2*{f(x)}][0,3] より

3∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx=[{f(x)}^2*{f(x)}][0,3]=[{f(x)}^3][0,3]={f(3)}^3-{f(0)}^3 より

3∫[0,3] {f(x)}^2*f'(x) dx=10^3-1^3=999

である。

(1)は定積分の関数の定義に代入します。

(2)は積分区間を１ずつにして表と積分で定積分の値を求めます。

(3)は定義の式を微分します。

(4)は部分積分を使います。

Comments

(4)はf(x)=tとでも置くともっと楽に出来ますよ！

コメント有難うございます。
tなど文字で置き換えたほうがよいですね。