極大値の問題です

極大値の問題です。

出典：2020年茨城大工学部後期

解答です

f(x)=√x-ax  をxで微分して

f'(x)=(1/2√x)-a

である。したがって

f'(x)={(1-2a√x)/2√x}

である。a=0の時、f'(x)はx>0において単調増加であるので、極大値を持たない。

a<0の時、1+2a√x=0で、a≠0より√x=-(1/2a)がx=(1/4a^2)で極大値をとる。

a>0の時、1-2a√x=0で、a≠0より√x=(1/2a)よりx=(1/4a^2)で極大値をとる。

したがって、a≠0の時、増減表は下記の通りである。

したがって、x=(1/4a^2)の時、f(x)は極大値(1/4a)をとる。

したがって(1/4a)=2より、a=(1/8)である。