数Ⅲ極限、積分の問題

数Ⅲの極限、積分の問題です。

出典：2020年高知工科大理系前期

解答です

(7)

lim[x→∞]  {(2x-3sinx)/x}

は

lim[x→∞] 2-((3sinx)/x)

である。

-1≦sinx≦1 より、x>0より、x≠0より、両辺xで割って

-(1/x)≦(sinx/x)≦(1/x)

である。したがって

lim[x→∞] -(1/x)≦lim[x→∞] (sinx/x)≦lim[x→∞] (1/x)

である。lim[x→∞] -(1/x)=0、lim[x→∞] (1/x)=0より、はさみうちの定理より

lim[x→∞] (sinx/x)=0

である。したがって

lim[x→∞]  {(2x-3sinx)/x}=2

である。

(8)

∫[0,(π/3)] {cosx/(1+sinx)}dx

sinx=tとおく。

cosxdx=dt

x   0      →　　　π/3

t    0       →　　√3/2

より

∫[0,(√3/2)] {1/(1+t)}dt=[log|1+t|][0,(√3/2)]=log(2+√3)-log2

である。