階差数列型の漸化式の問題です

階差数列型の漸化式の問題です。

出典：2021年福岡工業大学工学部、情報工学部

解答です

(1)

a[n+1]=a[n]+3^n   ・・・①

と変型する。①にn=1を代入して

a[2]=a[1]+3^1 より

a[2]=2+3=5

①にn=2を代入して

a[3]=a[2]+3^2 より

a[3]=5+9 より

a[3]=14

①にn=3を代入して

a[4]=a[3]+3^3 より

a[4]=14+27 より

a[4]=41

である。

(2)

数列{b[n]}の初項から第n項までの和をS[n]とすると、等比数列の和の公式より

S[n]=3(3^n-1)/(3-1)=(3/2)(3^n-1)

である。

(3)

①は階差数列型の漸化式である。

[1] n≧2の時

a[n]=a[1]+Σ(k=1)(n-1) 3^k  より（２）の結果を利用すると

a[n]=2+(3/2)(3^(n-1)-1)  より

a[n]=(1/2)*3^n+(1/2)　　　・・・②

である。②にn=1を代入すると

a[1]=(3/2)+(1/2)=2

よりn=1の時も成立する。

(1)は漸化式を使って順に値を求めます。

(2)は等比数列の和の公式を使います。

(3)は(2)の結果を使って階差数列の一般項の公式を使います。