公式の証明問題

公式の証明問題です。

次の問いに答えよ。ただしl、n、kは自然数とする。

(1) (l+1)^2-l^2を計算せよ。

(2) Σ(k=1)(n) k =(1/2)n(n+1)であることを(1)を用いて証明せよ。

解答です

(1)

(l+1)^2-l^2=2l+1

である。

(2)

(1) より

2^2 - 1^2 = 2*1 + 1

3^2 - 2^2 = 2*2 + 1

・

・

・

(n+1)^2-n^2 = 2*n + 1

よりそれぞれの辺を足して

(n+1)^2-1 = 2Σ(k=1)(n) k + Σ(k=1)(n) 1

n^2+2n = 2Σ(k=1)(n) k + n より

n(n+1) = 2Σ(k=1)(n) k

より

Σ(k=1)(n) k =(1/2)n(n+1)

である。したがって題意は証明された。